Geometria Não-Euclidiana

Em novembro, foi realizada uma atividade com uma turma de 3º ano do Ensino Médio do Colégio Imigrante sobre Geometrias Não Euclidianas. Nas escolas, infelizmente a geometria não euclidiana costuma não ser ensinada, apesar de sua grande importância para áreas como a aviação e a navegação marítima.

A oficina foi realizada no Laboratório de Matemática e iniciou com uma sistematização dos cinco axiomas de Euclides, para que os alunos pudessem pensar sobre a geometria euclidiana e em seguida conhecer a geometria esférica. O surgimento da geometria não-euclidiana foi apresentado relacionado às necessidades de uma representação em uma superfície que não fosse plana e às dúvidas com relação ao quinto axioma de Euclides.

Foi proposto aos alunos representar em uma folha de papel a seguinte história:

"Um caçador saiu de sua casa e caminhou 10 km ao Sul. Depois, virou ao oeste e caminhou mais 10 km. Então, virou e caminhou novamente por mais 10 km ao norte. Ficou surpreso, pois descobriu que voltara novamente à sua casa".

Ao desenhar, os alunos perceberam que obedecendo o percurso descrito, o caçador não voltaria para casa. Em seguida, deveriam representar o mesmo percurso um uma bola de isopor. Desta vez, o caçador voltava para sua casa.

Na atividade seguinte, deveriam representar o caminho do caçador caso ele resolvesse sair de casa e caminhar em linha reta infinitamente. No desenho da folha de papel, o caçador caminharia infinitamente em linha reta e, não havendo um ponto em que ele possa parar, continuaria caminhando para sempre e não voltaria para casa. Na superfície da bola de isopor, o caminho percorrido por ele seria a circunferência máxima da esfera, de modo que ele retornaria ao seu ponto inicial.

Tendo sido feitas essas construções iniciais, foram sistematizados no quadro alguns conceitos principais da geometria esférica, como o fato de os segmentos serem curvilíneos, a reta ser a circunferência máxima da esfera e a soma dos ângulos internos de um triângulo ser maior do que 180º.

Foi apresentada também uma imagem representando a geometria hiperbólica, comparando-a à sela de um cavalo e observando que a soma dos ângulos internos de um triângulo numa superfície hiperbólica é menor do que 180º. Ao iniciar a oficina, os alunos foram questionados sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo e afirmaram que é sempre igual a 180º, independentemente do triângulo. Isto está correto para a geometria de Euclides, mas com os novos conhecimentos que foram construídos ao longo da prática perceberam que em superfícies diferentes da plana isso pode ser diferente.

Como contextualização desses novos conhecimentos, os alunos foram questionados sobre os trajetos de aviões em grandes viagens, como de Nova York a Roma. Observando o mapa-múndi, parece ser possível viajar em linha reta entre essas duas cidades. O avião, porém, percorre um caminho curvilíneo, acompanhando a superfície da Terra e considerando a rota mais curta.

Como uma forma de registro e, principalmente, de reflexão, solicitou-se aos alunos a escrita de um parágrafo, com no mínimo oito linhas, onde deveriam constar quatro aspectos principais: os conhecimentos novos que foram construídos por meio da oficina; as diferenças entre a geometria euclidiana e a geometria não-euclidiana; a importância da geometria não-euclidiana; e conclusões a respeito do estudo feito nesta oficina. 

As conclusões e anotações dos alunos foram de grande qualidade, mostrando que realmente compreenderam os conceitos da geometria não-euclidiana e participaram atentamente de tudo o que foi conversado. Procurou-se sempre estabelecer um diálogo com a turma, não uma aula expositiva, e o resultado disso foi observado no que escreveram. Os alunos atingiram os objetivos da oficina de proporcionar um conhecimento novo a eles e construíram com sucesso uma aprendizagem significativa.